تمارین صفحات ۱۶۵ - ۱۶۶ #

۱ تمرین #

A #

برای محاسبه انتگرال دوگانه:

ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به x حساب می‌کنیم:

اکنون انتگرال خارجی را نسبت به y حساب می‌کنیم:

پاسخ نهایی:

B #

برای حل انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به محاسبه می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به

هر جمله را جداگانه انتگرال می‌گیریم:

بنابراین:

مقادیر را در حدود و جایگذاری می‌کنیم:

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به

حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

از آنجا که یک ثابت است، انتگرال به سادگی محاسبه می‌شود:

نتیجه نهایی

C #

برای حل انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به محاسبه می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به

هر جمله را جداگانه انتگرال می‌گیریم:

بنابراین:

مقادیر را در حدود و جایگذاری می‌کنیم:

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

هر جمله را جداگانه انتگرال می‌گیریم:

بنابراین:

مقادیر را در حدود و جایگذاری می‌کنیم:

نتیجه نهایی

D #

برای حل انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به محاسبه می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به

از آنجا که نسبت به ثابت است، می‌توان آن را از انتگرال خارج کرد:

انتگرال برابر است با :

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

این انتگرال را می‌توان به دو قسمت تقسیم کرد:

قسمت اول:

قسمت دوم:

برای حل این انتگرال از روش انتگرالگیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. فرمول انتگرال جزء به جزء:

فرض می‌کنیم:

بنابراین:

حالا حدود انتگرال را جایگذاری می‌کنیم:

جمع دو قسمت:

نتیجه نهایی

E #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به حل می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به

می‌توانیم را از انتگرال خارج کنیم (چون نسبت به ثابت است):

انتگرال برابر است با :

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

این انتگرال را می‌توان به دو قسمت تقسیم کرد:

قسمت اول:

برای حل این انتگرال از روش انتگرالگیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم. فرمول انتگرال جزء به جزء:

فرض می‌کنیم:

بنابراین:

حالا حدود انتگرال را جایگذاری می‌کنیم:

قسمت دوم:

حالا حدود انتگرال را جایگذاری می‌کنیم:

جمع دو قسمت:

نتیجه نهایی

F #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به حل می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به

عبارت را می‌توان از انتگرال خارج کرد (چون نسبت به ثابت است):

برای حل انتگرال نسبت به :

بنابراین:

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

این انتگرال را می‌توان به دو قسمت تقسیم کرد:

قسمت اول: با استفاده از روش جایگزینی:

حالا حدود انتگرال را جایگذاری می‌کنیم:

قسمت دوم:

حالا حدود انتگرال را جایگذاری می‌کنیم:

جمع دو قسمت:

نتیجه نهایی

G #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به y و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به x حل می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به y

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به x حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

نتیجه نهایی

H #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر، ابتدا باید محدودههای انتگرالگیری را به دقت بررسی کنیم:

تحلیل محدودههای انتگرالگیری:

1. متغیر بیرونی y از 0 تا 1 تغییر میکند.
2. برای هر مقدار ثابت y، متغیر x از y تا √y تغییر میکند.

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به x

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به y حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار میدهیم:

محاسبه هر کدام از انتگرالها به صورت جداگانه:

حالا حدود انتگرال را جایگذاری میکنیم:

نتیجه نهایی

نکته مهم:

در این مسئله، ترتیب انتگرالگیری صحیح است زیرا برای هر در بازه ، مقدار است. اگر این شرط برقرار نبود، نیاز به تغییر ترتیب انتگرالگیری داشتیم.

I #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به حل می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به

از آنجا که نسبت به ثابت است، می‌توان آن را از انتگرال خارج کرد:

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

ابتدا عبارت را ساده می‌کنیم:

حالا انتگرال را به دو قسمت تقسیم می‌کنیم:

هر کدام از انتگرال‌ها را جداگانه حل می‌کنیم:

حالا نتایج را از هم کم می‌کنیم:

نتیجه نهایی

J #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به حل میکنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به

از آنجا که نسبت به ثابت است، میتوان آن را از انتگرال خارج کرد:

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار میدهیم:

برای حل این انتگرال از روش جایگزینی استفاده میکنیم:

حدود انتگرال نیز تغییر میکنند:

• وقتی باشد،
• وقتی باشد،

بنابراین انتگرال به صورت زیر درمیآید:

نتیجه نهایی

نکته:

این انتگرال در واقع محاسبه حجم زیر سطح روی نیم دایره بالایی در ناحیه است. نتیجه نهایی نشان میدهد که این حجم برابر با 2 واحد مکعب است.

K #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر، مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به y ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به y حل می‌کنیم:

از آنجا که x در مخرج نسبت به y ثابت است، می‌توانیم آن را از انتگرال خارج کنیم:

حال انتگرال y را محاسبه می‌کنیم:

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به x حال نتیجه را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

عامل ثابت را خارج می‌کنیم:

حال انتگرال x را محاسبه می‌کنیم:

نتیجه نهایی

L #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به y و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به x حل می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به y

این انتگرال را می‌توان به دو قسمت تقسیم کرد:

حل قسمت اول (x ثابت است):

حل قسمت دوم:

جمع نتایج:

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به x حالا نتیجه را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

این انتگرال را نیز به دو قسمت تقسیم می‌کنیم:

حل قسمت اول:

حل قسمت دوم (1/2 ثابت است):

جمع نتایج:

نتیجه نهایی

M #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به حل می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به

از آنجا که نسبت به ثابت است، می‌توان آن را از انتگرال خارج کرد:

حال انتگرال را محاسبه می‌کنیم:

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به حالا نتیجه انتگرال داخلی را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

هر دو انتگرال را جداگانه محاسبه می‌کنیم:

حال نتایج را از هم کم می‌کنیم:

نتیجه نهایی

N #

برای محاسبه انتگرال دوگانه زیر در مختصات قطبی، ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به و سپس انتگرال بیرونی را نسبت به حل می‌کنیم:

مرحله ۱: حل انتگرال داخلی نسبت به

توجه: نسبت به ثابت است و از انتگرال داخلی خارج می‌شود.

مرحله ۲: حل انتگرال بیرونی نسبت به حال نتیجه را در انتگرال بیرونی قرار می‌دهیم:

برای حل از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می‌کنیم:

بنابراین:

حال حدود انتگرال را جایگذاری می‌کنیم:

نتیجه نهایی