تمرین صفحات ۹۵ #

تمرین ۱ #

برای نوشتن معادله خطی که از نقطه گذشته و موازی بردار باشد، از معادله پارامتری خط در فضای سه‌بعدی استفاده می‌کنیم.

معادله پارامتری خط:

اگر خطی از نقطه بگذرد و موازی بردار باشد، معادله پارامتری آن به صورت زیر است:

که در آن پارامتر است.

مقادیر داده‌شده:

• نقطه → , ,
• بردار جهت → , ,

معادله خط:

با جایگذاری مقادیر در معادله پارامتری:

نتیجه نهایی:

معادله پارامتری خط به صورت زیر است:

تمرین ۲ #

برای نوشتن معادله خطی که از دو نقطه و می‌گذرد، از معادله پارامتری خط در فضای سه‌بعدی استفاده می‌کنیم. مراحل به صورت زیر هستند:

تعیین بردار جهت خط:

بردار جهت () موازی با خط است و می‌توان آن را از تفاضل مختصات دو نقطه و به دست آورد:

جایگذاری مقادیر:

نتیجه نهایی:

معادله پارامتری خط به صورت زیر است:

معادله خط

تمرین ۳ #

برای نوشتن معادلهٔ صفحهای که از نقطه میگذرد و بر خط عمود است، مراحل زیر را دنبال میکنیم:

۱. تعیین بردار جهت خط :

معادلهٔ خط به صورت زیر داده شده است:

بردار جهت () این خط، ضرایب مخرج کسرها هستند:

۲. شرط عمود بودن صفحه به خط:

یک صفحه بر یک خط عمود است اگر و تنها اگر بردار نرمال صفحه موازی با بردار جهت خط باشد. بنابراین، بردار نرمال صفحه همان بردار جهت خط است:

۳. معادلهٔ عمومی صفحه:

معادلهٔ عمومی صفحه با بردار نرمال و گذر از نقطه به صورت زیر است:

با جایگذاری و نقطه :

۴. ساده‌سازی معادله:

پاسخ نهایی:

معادلهٔ صفحه به صورت زیر است:

نکات:

• این صفحه عمود بر خط است، زیرا بردار نرمال آن موازی با بردار جهت خط است.
• نقطه در صفحه قرار دارد، زیرا:

تشکر #

• حلما