اخطار : توجه کنید
اگر در تلفن همراه دارید این صفحه را مشاهده میکنید لطفا برای دیدن پاسخ ها به صورت کامل و درست گوشی خود را افقی نگه دارید.
راهنمایی
.مابقی تمرین ها و پاسخ هاشون در کانال تلگرامی هستند 👈🏻 کانال تلگرام
تمارین صفحات ۱۶۵ - ۱۶۶ #
تمرین ۲ #
A #
برای تبدیل انتگرال دوگانه به انتگرال مکرر، ابتدا باید ناحیه را به درستی توصیف کنیم. با توجه به محدودههای دادهشده:
این ناحیه به صورت یک ناحیه ساده در راستای تعریف میشود، یعنی برای هر ثابت بین ۱ و ۲، از تا تغییر میکند. بنابراین، انتگرال دوگانه را میتوان به صورت انتگرال مکرر زیر نوشت:
پاسخ نهایی:
B #
برای محاسبه انتگرال دوگانه روی ناحیه مثلثی با رئوس ، و ، ابتدا باید محدوده تغییرات و را مشخص کنیم.
توصیف ناحیه :
این مثلث به صورت زیر تعریف میشود:
- در محور ، از تا تغییر میکند.
- برای هر ثابت در ، از خط پایینی تا خط بالایی تغییر میکند.
خط بالایی ():
از نقطه تا امتداد دارد.
تبدیل به انتگرال مکرر:
اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم، داریم:
پاسخ نهایی:
C #
مسئله:
محاسبه انتگرال دوگانه برای ناحیه محصور بین سهمی و محور (یعنی ) در بازه .
تشریح ناحیه :
ناحیه به صورت زیر تعریف میشود:
- حدود : از تا (چون سهمی در این بازه با محصور شده است).
- حدود : برای هر ثابت در ، از (محور ) تا (سهمی) تغییر میکند.
تنظیم انتگرال مکرر:
ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال میگیریم:
محاسبه مساحت ناحیه (اگر ):
برای مثال، اگر بخواهیم مساحت ناحیه را محاسبه کنیم:
حالت معکوس انتگرالگیری (اختیاری):
اگر بخواهیم ترتیب انتگرالگیری را عکس کنیم، باید ناحیه را برحسب توصیف کنیم:
- حدود : از تا (چون بیشترین مقدار در برابر است).
- حدود : برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.
در این صورت انتگرال به صورت زیر نوشته میشود:
پاسخ نهایی:
انتگرال دوگانه به صورت زیر است:
D #
تشریح ناحیه :
- حدود : از تا (با توجه به و )
- حدود : از تا (با توجه به و )
تنظیم انتگرال مکرر:
ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال میگیریم:
محاسبه مساحت ناحیه (اگر ):
برای محاسبه مساحت ناحیه :
حال انتگرال را حل میکنیم:
پاسخ نهایی:
انتگرال دوگانه به صورت زیر نوشته میشود:
E #
برای محاسبه انتگرال دوگانه روی ناحیه که به وسیله معادله محصور شده است، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
تشریح ناحیه :
معادله یک منحنی بسته در ربع اول (, ) ایجاد میکند. برای توصیف این ناحیه:
- حدود : از تا (چون وقتی ، و بنابراین ).
- برای هر ثابت در ، از تا تغییر میکند (حل معادله برای ).
تنظیم انتگرال مکرر:
اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم:
حالت معکوس انتگرالگیری:
اگر بخواهیم ترتیب انتگرالگیری را عکس کنیم:
- حدود : از تا (چون وقتی ، و بنابراین ).
- برای هر ثابت در ، از تا تغییر میکند.
در این صورت:
محاسبه مساحت ناحیه (اگر ):
برای محاسبه مساحت ناحیه :
پاسخ نهایی: انتگرال دوگانه به صورت زیر نوشته میشود:
F #
برای نوشتن انتگرال دوگانه به صورت انتگرال مکرر روی ناحیه که با خطوط ، و محدود شده است، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
۱. تعیین نقاط تقاطع مرزهای ناحیه:
برای درک بهتر ناحیه ، ابتدا نقاط تقاطع خطوط را پیدا میکنیم:
تقاطع و :
نقطه .
تقاطع و :
نقطه .
تقاطع و :
نقطه .
۲. رسم ناحیه :
ناحیه یک مثلث است که توسط نقاط ، و تشکیل شده است.
۳. انتگرالگیری به ترتیب :
اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم، حدود انتگرال به صورت زیر خواهد بود:
حدود : از تا .
برای هر ثابت، حدود :
- از (محور ) تا روی خط بالایی.
- خط بالایی برای ، است.
- خط بالایی برای ، است.
بنابراین، انتگرال مکرر به صورت زیر نوشته میشود:
۴. انتگرالگیری به ترتیب : اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم، حدود انتگرال به صورت زیر خواهد بود:
- حدود : از تا (چون بیشترین مقدار در نقطه است).
- برای هر ثابت، حدود :
- از روی خط سمت چپ () تا روی خط سمت راست ().
بنابراین، انتگرال مکرر به صورت زیر نوشته میشود:
پاسخ نهایی:
G #
برای تبدیل انتگرال دوگانه به انتگرال مکرر در ناحیه محصور بین منحنیهای و ، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
۱. پیدا کردن نقاط تقاطع منحنیها
برای یافتن محدوده انتگرالگیری، ابتدا نقاط تقاطع دو منحنی را محاسبه میکنیم:
با جایگذاری از معادله اول در معادله دوم:
حل معادله:
پس نقاط تقاطع در و قرار دارند.
مقادیر متناظر:
- برای :
- برای :
بنابراین نقاط تقاطع و هستند.
۲. تعیین حدود انتگرالگیری
اگر ابتدا نسبت به و سپس انتگرال بگیریم: برای هر در بازه ، از سمت چپ () تا سمت راست () تغییر میکند. بنابراین انتگرال مکرر به صورت زیر است:
اگر ابتدا نسبت به و سپس انتگرال بگیریم:
در این حالت، ناحیه را باید به دو قسمت تقسیم کنیم:
۱. برای در (قسمت پایین تقاطع)، از تا تغییر میکند. ۲. برای در ، از تا تغییر میکند.
بنابراین انتگرال مکرر به صورت زیر خواهد بود:
پاسخ نهایی
تمرین ۳ #
A #
برای تغییر ترتیب انتگرالگیری در انتگرال دوگانه زیر:
ابتدا باید ناحیه انتگرالگیری را در صفحه مشخص کنیم.
۱. تعیین ناحیه انتگرالگیری:
- حدود بیرونی : از تا .
- برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.
بنابراین، ناحیه به صورت زیر است:
۲. رسم ناحیه:
برای درک بهتر، مرزهای ناحیه را رسم میکنیم:
- خط پایینی: (برای از تا ).
- خط بالایی: (برای از تا ).
در : و . در : و .
اما برای تغییر ترتیب انتگرالگیری، باید را بر حسب توصیف کنیم.
۳. تغییر ترتیب انتگرالگیری:
برای این کار، را از تا در نظر میگیریم و برای هر ، محدوده را پیدا میکنیم.
برای :
- از داریم: .
- از داریم: .
- بنابراین، از تا تغییر میکند.
برای :
- از داریم: .
- اما حداکثر تا است (چون ).
- بنابراین، از تا تغییر میکند.
اما باید دقت کنیم که در ، هر دو حالت (از ) و (از ) را داریم.
پس ناحیه را میتوان به دو بخش تقسیم کرد:
۴. نوشتن انتگرال با ترتیب جدید:
حالا میتوانیم انتگرال را با ترتیب بنویسیم:
پاسخ نهایی:
این شکل جدید انتگرال با ترتیب تغییر یافته است.
B #
برای تغییر ترتیب انتگرالگیری در انتگرال دوگانه زیر:
ابتدا باید ناحیه انتگرالگیری را در صفحه مشخص کنیم.
۱. تعیین ناحیه انتگرالگیری:
- حدود بیرونی : از تا .
- برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.
بنابراین، ناحیه به صورت زیر است:
۲. رسم ناحیه:
برای درک بهتر، مرزهای ناحیه را رسم میکنیم:
- منحنی پایینی: (برای از تا ).
- منحنی بالایی: (برای از تا ).
در : و . در : و .
اما برای تغییر ترتیب انتگرالگیری، باید را بر حسب توصیف کنیم.
۳. تغییر ترتیب انتگرالگیری:
برای این کار، را از تا در نظر میگیریم و برای هر ، محدوده را پیدا میکنیم.
- از داریم: .
- از داریم: .
برای :
- (چون برای ).
بنابراین، برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.
۴. نوشتن انتگرال با ترتیب جدید:
حالا میتوانیم انتگرال را با ترتیب بنویسیم:
پاسخ نهایی:
این شکل جدید انتگرال با ترتیب تغییر یافته (dx , dy) است.
تمرین ۴ #
A #
مسئله:
۱. تحلیل ناحیه انتگرالگیری:
- انتگرال داخلی: (متغیر از تا )
- انتگرال بیرونی: (متغیر از تا ).
ناحیه :
این ناحیه یک مثلث است که توسط خطوط ، و محدود شده است.
۲. تغییر ترتیب انتگرالگیری:
برای سادهسازی، ترتیب انتگرالگیری را از به تغییر میدهیم:
- حدود جدید:
- از تا (عمودی).
- برای هر ثابت، از تا (افقی).
ناحیه با ترتیب جدید:
۳. بازنویسی انتگرال:
۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به :
۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به :
۶. نتیجه نهایی:
B #
مسئله:
۱. تحلیل ناحیه انتگرالگیری:
- انتگرال داخلی: (متغیر از تا ).
- انتگرال بیرونی: (متغیر از تا ).
ناحیه :
این ناحیه یک مثلث است که توسط خطوط ، و محدود شده است.
۲. تغییر ترتیب انتگرالگیری:
برای سادهسازی، ترتیب انتگرالگیری را از به تغییر میدهیم:
- حدود جدید:
- از تا (افقی).
- برای هر ثابت، از تا (عمودی).
ناحیه با ترتیب جدید:
۳. بازنویسی انتگرال:
۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به :
۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به :
انتگرال اول: با جایگزینی ، :
بنابراین:
انتگرال دوم:
۶. ترکیب نتایج:
۷. نتیجه نهایی:
C #
مسئله:
۱. تحلیل ناحیه انتگرالگیری:
حدود فعلی:
- متغیر بیرونی (y): از 0 تا
- متغیر درونی (x): از تا
ناحیه انتگرالگیری:
این ناحیه بین خط و خط عمودی قرار دارد.
۲. ترسیم ناحیه برای تغییر ترتیب:
برای تغییر ترتیب انتگرالگیری، ناحیه را به صورت زیر توصیف میکنیم:
- x از 0 تا
- برای هر x ثابت، y از 0 تا
۳. بازنویسی انتگرال با ترتیب جدید:
۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به y:
۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به x:
با استفاده از روش جایگزینی:
- وقتی
- وقتی
۶. نتیجه نهایی:
D #
مسئله:
۱. تحلیل ناحیه انتگرالگیری:
حدود فعلی:
- متغیر بیرونی (x): از 0 تا 8
- متغیر درونی (y): از تا 2
ناحیه انتگرالگیری:
این ناحیه بین منحنی و خط افقی قرار دارد.
۲. ترسیم ناحیه برای تغییر ترتیب:
برای تغییر ترتیب انتگرالگیری، ناحیه را به صورت زیر توصیف میکنیم:
- y از 0 تا 2 (چون وقتی و وقتی )
- برای هر y ثابت، x از 0 تا y³ (معکوس تابع )
۳. بازنویسی انتگرال با ترتیب جدید:
۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به x:
۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به y:
با استفاده از روش جایگزینی:
- وقتی
- وقتی
۶. نتیجه نهایی:
تمرین ۵ #
حل انتگرال دوگانه با تغییر ترتیب انتگرالگیری:
مسئله:
۱. تحلیل ناحیه انتگرالگیری:
حدود فعلی:
- متغیر بیرونی (x): از 0 تا 1
- متغیر درونی (y): از تا
ناحیه انتگرالگیری:
این ناحیه بین منحنی و خط افقی y = قرار دارد.
۲. ترسیم ناحیه برای تغییر ترتیب:
برای تغییر ترتیب انتگرالگیری، ناحیه را به صورت زیر توصیف میکنیم:
- y از 0 تا (چون وقتی ، و وقتی ، )
- برای هر y ثابت، x از 0 تا tan y (معکوس تابع )
۳. بازنویسی انتگرال با ترتیب جدید:
۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به x:
۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به y:
حل این انتگرال با روش جایگزینی:
- وقتی
- وقتی
۶. نتیجه نهایی:
تمارین صفحه ۹۱ #
تمرین ۱ #
بردارهای دادهشده:
A #
برای محاسبه ، مؤلفههای متناظر دو بردار را با هم جمع میکنیم:
جمع مؤلفهها:
پاسخ نهایی:
B #
B)
تفریق مؤلفهبهمؤلفه انجام میشود:
C #
C) (ضرب داخلی)
ضرب داخلی به صورت زیر محاسبه میشود:
D #
D) (ضرب داخلی)
ضرب داخلی جابجایی است، پس:
E #
E) (ضرب خارجی)
ضرب خارجی با دترمینان ماتریس زیر محاسبه میشود:
F #
F) (ضرب خارجی)
ضرب خارجی پادجابجایی است، پس:
G #
G)
ابتدا را محاسبه میکنیم (قسمت A را ببینید):
حال را محاسبه میکنیم:
حال ضرب خارجی را انجام میدهیم:
H #
H) (ضرب خارجی یک بردار با خودش)
ضرب خارجی هر بردار با خودش همیشه صفر است، زیرا زاویه بین بردار و خودش است و . پس:
تمرین ۲ #
بردارهای دادهشده:
A #
A)
جمع مؤلفهبهمؤلفه:
B #
B)
تفریق مؤلفهبهمؤلفه:
C #
C) (ضرب داخلی)
D #
D) (ضرب داخلی)
ضرب داخلی جابجایی است:
E #
E) (ضرب خارجی)
محاسبه با دترمینان:
F #
F) (ضرب خارجی)
ضرب خارجی پادجابجایی است:
G #
G)
محاسبه (قسمت A):
محاسبه :
ضرب خارجی:
H #
H)
ضرب خارجی هر بردار با خودش صفر است: