Jarvis @ JM.me

پاسخ سوالات ریاضی (انتگرال و معادله خط‌وصفحه و بردارها)

May 15 · 120min | امیرمحمد

مسائل ریاضی و حل آنها

اخطار : توجه کنید

اگر در تلفن همراه دارید این صفحه را مشاهده میکنید لطفا برای دیدن پاسخ ها به صورت کامل و درست گوشی خود را افقی نگه دارید.

راهنمایی

.مابقی تمرین ها و پاسخ هاشون در کانال تلگرامی هستند 👈🏻 کانال تلگرام



تمارین صفحات ۱۶۵ - ۱۶۶

تمرین ۲

A

برای تبدیل انتگرال دوگانه به انتگرال مکرر، ابتدا باید ناحیه را به درستی توصیف کنیم. با توجه به محدوده‌های داده‌شده:

این ناحیه به صورت یک ناحیه ساده در راستای تعریف می‌شود، یعنی برای هر ثابت بین ۱ و ۲، از تا تغییر می‌کند. بنابراین، انتگرال دوگانه را می‌توان به صورت انتگرال مکرر زیر نوشت:

پاسخ نهایی:


B

برای محاسبه انتگرال دوگانه روی ناحیه مثلثی با رئوس ، و ، ابتدا باید محدوده تغییرات و را مشخص کنیم.

توصیف ناحیه :

این مثلث به صورت زیر تعریف می‌شود:

  • در محور ، از تا تغییر می‌کند.
  • برای هر ثابت در ، از خط پایینی تا خط بالایی تغییر می‌کند.

خط بالایی ():

از نقطه تا امتداد دارد.

تبدیل به انتگرال مکرر:

اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم، داریم:

پاسخ نهایی:


C

مسئله:

محاسبه انتگرال دوگانه برای ناحیه محصور بین سهمی و محور (یعنی ) در بازه .

تشریح ناحیه :

ناحیه به صورت زیر تعریف می‌شود:

  • حدود : از تا (چون سهمی در این بازه با محصور شده است).
  • حدود : برای هر ثابت در ، از (محور ) تا (سهمی) تغییر می‌کند.

تنظیم انتگرال مکرر:

ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال می‌گیریم:

محاسبه مساحت ناحیه (اگر ):

برای مثال، اگر بخواهیم مساحت ناحیه را محاسبه کنیم:

حالت معکوس انتگرال‌گیری (اختیاری):

اگر بخواهیم ترتیب انتگرال‌گیری را عکس کنیم، باید ناحیه را برحسب توصیف کنیم:

  • حدود : از تا (چون بیشترین مقدار در برابر است).
  • حدود : برای هر ثابت، از تا تغییر می‌کند.

در این صورت انتگرال به صورت زیر نوشته می‌شود:

پاسخ نهایی:

انتگرال دوگانه به صورت زیر است:


D

تشریح ناحیه :

  • حدود : از تا (با توجه به و )
  • حدود : از تا (با توجه به و )

تنظیم انتگرال مکرر:

ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال می‌گیریم:

محاسبه مساحت ناحیه (اگر ):

برای محاسبه مساحت ناحیه :

حال انتگرال را حل می‌کنیم:

پاسخ نهایی:

انتگرال دوگانه به صورت زیر نوشته می‌شود:


E

برای محاسبه انتگرال دوگانه روی ناحیه که به وسیله معادله محصور شده است، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

تشریح ناحیه :

معادله یک منحنی بسته در ربع اول (, ) ایجاد می‌کند. برای توصیف این ناحیه:

  • حدود : از تا (چون وقتی ، و بنابراین ).
  • برای هر ثابت در ، از تا تغییر می‌کند (حل معادله برای ).

تنظیم انتگرال مکرر:

اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم:

حالت معکوس انتگرال‌گیری:

اگر بخواهیم ترتیب انتگرال‌گیری را عکس کنیم:

  • حدود : از تا (چون وقتی ، و بنابراین ).
  • برای هر ثابت در ، از تا تغییر می‌کند.

در این صورت:

محاسبه مساحت ناحیه (اگر ):

برای محاسبه مساحت ناحیه :

پاسخ نهایی: انتگرال دوگانه به صورت زیر نوشته می‌شود:


F

برای نوشتن انتگرال دوگانه به صورت انتگرال مکرر روی ناحیه که با خطوط ، و محدود شده است، مراحل زیر را دنبال میکنیم:

۱. تعیین نقاط تقاطع مرزهای ناحیه:

برای درک بهتر ناحیه ، ابتدا نقاط تقاطع خطوط را پیدا میکنیم:

  • تقاطع و :

    نقطه .

  • تقاطع و :

    نقطه .

  • تقاطع و :

    نقطه .

۲. رسم ناحیه :

ناحیه یک مثلث است که توسط نقاط ، و تشکیل شده است.

۳. انتگرالگیری به ترتیب :

اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم، حدود انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

  • حدود : از تا .

  • برای هر ثابت، حدود :

    • از (محور ) تا روی خط بالایی.
    • خط بالایی برای ، است.
    • خط بالایی برای ، است.

بنابراین، انتگرال مکرر به صورت زیر نوشته میشود:

۴. انتگرالگیری به ترتیب : اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم، حدود انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

  • حدود : از تا (چون بیشترین مقدار در نقطه است).
  • برای هر ثابت، حدود :
    • از روی خط سمت چپ () تا روی خط سمت راست ().

بنابراین، انتگرال مکرر به صورت زیر نوشته میشود:

پاسخ نهایی:


G

برای تبدیل انتگرال دوگانه به انتگرال مکرر در ناحیه محصور بین منحنی‌های و ، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

۱. پیدا کردن نقاط تقاطع منحنی‌ها

برای یافتن محدوده انتگرال‌گیری، ابتدا نقاط تقاطع دو منحنی را محاسبه می‌کنیم:

با جایگذاری از معادله اول در معادله دوم:

حل معادله:

پس نقاط تقاطع در و قرار دارند.

مقادیر متناظر:

  • برای :
  • برای :

بنابراین نقاط تقاطع و هستند.

۲. تعیین حدود انتگرال‌گیری

  • اگر ابتدا نسبت به و سپس انتگرال بگیریم: برای هر در بازه ، از سمت چپ () تا سمت راست () تغییر می‌کند. بنابراین انتگرال مکرر به صورت زیر است:

  • اگر ابتدا نسبت به و سپس انتگرال بگیریم:

    در این حالت، ناحیه را باید به دو قسمت تقسیم کنیم:

    ۱. برای در (قسمت پایین تقاطع)، از تا تغییر می‌کند. ۲. برای در ، از تا تغییر می‌کند.

    بنابراین انتگرال مکرر به صورت زیر خواهد بود:

پاسخ نهایی


تمرین ۳

A

برای تغییر ترتیب انتگرالگیری در انتگرال دوگانه زیر:

ابتدا باید ناحیه انتگرالگیری را در صفحه مشخص کنیم.

۱. تعیین ناحیه انتگرالگیری:

  • حدود بیرونی : از تا .
  • برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.

بنابراین، ناحیه به صورت زیر است:

۲. رسم ناحیه:

برای درک بهتر، مرزهای ناحیه را رسم میکنیم:

  • خط پایینی: (برای از تا ).
  • خط بالایی: (برای از تا ).

در : و . در : و .

اما برای تغییر ترتیب انتگرالگیری، باید را بر حسب توصیف کنیم.

۳. تغییر ترتیب انتگرالگیری:

برای این کار، را از تا در نظر میگیریم و برای هر ، محدوده را پیدا میکنیم.

  • برای :

    • از داریم: .
    • از داریم: .
    • بنابراین، از تا تغییر میکند.
  • برای :

    • از داریم: .
    • اما حداکثر تا است (چون ).
    • بنابراین، از تا تغییر میکند.

اما باید دقت کنیم که در ، هر دو حالت (از ) و (از ) را داریم.

پس ناحیه را میتوان به دو بخش تقسیم کرد:

۴. نوشتن انتگرال با ترتیب جدید:

حالا میتوانیم انتگرال را با ترتیب بنویسیم:

پاسخ نهایی:

این شکل جدید انتگرال با ترتیب تغییر یافته است.


B

برای تغییر ترتیب انتگرالگیری در انتگرال دوگانه زیر:

ابتدا باید ناحیه انتگرالگیری را در صفحه مشخص کنیم.

۱. تعیین ناحیه انتگرالگیری:

  • حدود بیرونی : از تا .
  • برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.

بنابراین، ناحیه به صورت زیر است:

۲. رسم ناحیه:

برای درک بهتر، مرزهای ناحیه را رسم میکنیم:

  • منحنی پایینی: (برای از تا ).
  • منحنی بالایی: (برای از تا ).

در : و . در : و .

اما برای تغییر ترتیب انتگرالگیری، باید را بر حسب توصیف کنیم.

۳. تغییر ترتیب انتگرالگیری:

برای این کار، را از تا در نظر میگیریم و برای هر ، محدوده را پیدا میکنیم.

  • از داریم: .
  • از داریم: .

برای :

  • (چون برای ).

بنابراین، برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.

۴. نوشتن انتگرال با ترتیب جدید:

حالا میتوانیم انتگرال را با ترتیب بنویسیم:

پاسخ نهایی:

این شکل جدید انتگرال با ترتیب تغییر یافته (dx , dy) است.

تمرین ۴

A

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

  • انتگرال داخلی: (متغیر از تا )
  • انتگرال بیرونی: (متغیر از تا ).

ناحیه :

این ناحیه یک مثلث است که توسط خطوط ، و محدود شده است.

۲. تغییر ترتیب انتگرال‌گیری:

برای ساده‌سازی، ترتیب انتگرال‌گیری را از به تغییر می‌دهیم:

  • حدود جدید:
    • از تا (عمودی).
    • برای هر ثابت، از تا (افقی).

ناحیه با ترتیب جدید:

۳. بازنویسی انتگرال:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به :

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به :

۶. نتیجه نهایی:


B

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

  • انتگرال داخلی: (متغیر از تا ).
  • انتگرال بیرونی: (متغیر از تا ).

ناحیه :

این ناحیه یک مثلث است که توسط خطوط ، و محدود شده است.

۲. تغییر ترتیب انتگرال‌گیری:

برای ساده‌سازی، ترتیب انتگرال‌گیری را از به تغییر می‌دهیم:

  • حدود جدید:
    • از تا (افقی).
    • برای هر ثابت، از تا (عمودی).

ناحیه با ترتیب جدید:

۳. بازنویسی انتگرال:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به :

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به :

  • انتگرال اول: با جایگزینی ، :

    بنابراین:

  • انتگرال دوم:

۶. ترکیب نتایج:

۷. نتیجه نهایی:


C

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

  • حدود فعلی:

    • متغیر بیرونی (y): از 0 تا
    • متغیر درونی (x): از تا
  • ناحیه انتگرال‌گیری:

    این ناحیه بین خط و خط عمودی قرار دارد.

۲. ترسیم ناحیه برای تغییر ترتیب:

برای تغییر ترتیب انتگرال‌گیری، ناحیه را به صورت زیر توصیف می‌کنیم:

  • x از 0 تا
  • برای هر x ثابت، y از 0 تا

۳. بازنویسی انتگرال با ترتیب جدید:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به y:

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به x:

با استفاده از روش جایگزینی:

  • وقتی
  • وقتی

۶. نتیجه نهایی:


D

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

  • حدود فعلی:

    • متغیر بیرونی (x): از 0 تا 8
    • متغیر درونی (y): از تا 2
  • ناحیه انتگرال‌گیری:

    این ناحیه بین منحنی و خط افقی قرار دارد.

۲. ترسیم ناحیه برای تغییر ترتیب:

برای تغییر ترتیب انتگرال‌گیری، ناحیه را به صورت زیر توصیف می‌کنیم:

  • y از 0 تا 2 (چون وقتی و وقتی )
  • برای هر y ثابت، x از 0 تا y³ (معکوس تابع )

۳. بازنویسی انتگرال با ترتیب جدید:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به x:

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به y:

با استفاده از روش جایگزینی:

  • وقتی
  • وقتی

۶. نتیجه نهایی:


تمرین ۵

حل انتگرال دوگانه با تغییر ترتیب انتگرال‌گیری:

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

  • حدود فعلی:

    • متغیر بیرونی (x): از 0 تا 1
    • متغیر درونی (y): از تا
  • ناحیه انتگرال‌گیری:

    این ناحیه بین منحنی و خط افقی y = قرار دارد.

۲. ترسیم ناحیه برای تغییر ترتیب:

برای تغییر ترتیب انتگرال‌گیری، ناحیه را به صورت زیر توصیف می‌کنیم:

  • y از 0 تا (چون وقتی ، و وقتی ، )
  • برای هر y ثابت، x از 0 تا tan y (معکوس تابع )

۳. بازنویسی انتگرال با ترتیب جدید:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به x:

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به y:

حل این انتگرال با روش جایگزینی:

  • وقتی
  • وقتی

۶. نتیجه نهایی:


تمارین صفحه ۹۱

تمرین ۱

بردارهای داده‌شده:

A

برای محاسبه ، مؤلفه‌های متناظر دو بردار را با هم جمع می‌کنیم:

جمع مؤلفه‌ها:

پاسخ نهایی:

B

B)

تفریق مؤلفه‌به‌مؤلفه انجام می‌شود:

C

C) (ضرب داخلی)

ضرب داخلی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

D

D) (ضرب داخلی)

ضرب داخلی جابجایی است، پس:

E

E) (ضرب خارجی)

ضرب خارجی با دترمینان ماتریس زیر محاسبه می‌شود:

F

F) (ضرب خارجی)

ضرب خارجی پادجابجایی است، پس:

G

G)

ابتدا را محاسبه می‌کنیم (قسمت A را ببینید):

حال را محاسبه می‌کنیم:

حال ضرب خارجی را انجام می‌دهیم:

H

H) (ضرب خارجی یک بردار با خودش)

ضرب خارجی هر بردار با خودش همیشه صفر است، زیرا زاویه بین بردار و خودش است و . پس:


تمرین ۲

بردارهای داده‌شده:

A

A)

جمع مؤلفه‌به‌مؤلفه:

B

B)

تفریق مؤلفه‌به‌مؤلفه:

C

C) (ضرب داخلی)

D

D) (ضرب داخلی)

ضرب داخلی جابجایی است:

E

E) (ضرب خارجی)

محاسبه با دترمینان:

F

F) (ضرب خارجی)

ضرب خارجی پادجابجایی است:

G

G)

محاسبه (قسمت A):

محاسبه :

ضرب خارجی:

H

H)

ضرب خارجی هر بردار با خودش صفر است:

> کامنت بذار در بلو اسکای / توییتر
 
CC BY-NC-SA 4.0  2009-PRESENT © Nuxsco (AMS) This website rewrite several times from those years up to present