تمارین صفحات ۱۶۵ - ۱۶۶ #

تمرین ۲ #

A #

برای تبدیل انتگرال دوگانه به انتگرال مکرر، ابتدا باید ناحیه را به درستی توصیف کنیم. با توجه به محدوده‌های داده‌شده:

این ناحیه به صورت یک ناحیه ساده در راستای تعریف می‌شود، یعنی برای هر ثابت بین ۱ و ۲، از تا تغییر می‌کند. بنابراین، انتگرال دوگانه را می‌توان به صورت انتگرال مکرر زیر نوشت:

پاسخ نهایی:

B #

برای محاسبه انتگرال دوگانه روی ناحیه مثلثی با رئوس ، و ، ابتدا باید محدوده تغییرات و را مشخص کنیم.

توصیف ناحیه :

این مثلث به صورت زیر تعریف می‌شود:

• در محور ، از تا تغییر می‌کند.
• برای هر ثابت در ، از خط پایینی تا خط بالایی تغییر می‌کند.

خط بالایی ():

از نقطه تا امتداد دارد.

تبدیل به انتگرال مکرر:

اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم، داریم:

پاسخ نهایی:

C #

مسئله:

محاسبه انتگرال دوگانه برای ناحیه محصور بین سهمی و محور (یعنی ) در بازه .

تشریح ناحیه :

ناحیه به صورت زیر تعریف می‌شود:

• حدود : از تا (چون سهمی در این بازه با محصور شده است).
• حدود : برای هر ثابت در ، از (محور ) تا (سهمی) تغییر می‌کند.

تنظیم انتگرال مکرر:

ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال می‌گیریم:

محاسبه مساحت ناحیه (اگر ):

برای مثال، اگر بخواهیم مساحت ناحیه را محاسبه کنیم:

حالت معکوس انتگرال‌گیری (اختیاری):

اگر بخواهیم ترتیب انتگرال‌گیری را عکس کنیم، باید ناحیه را برحسب توصیف کنیم:

• حدود : از تا (چون بیشترین مقدار در برابر است).
• حدود : برای هر ثابت، از تا تغییر می‌کند.

در این صورت انتگرال به صورت زیر نوشته می‌شود:

پاسخ نهایی:

انتگرال دوگانه به صورت زیر است:

D #

تشریح ناحیه :

• حدود : از تا (با توجه به و )
• حدود : از تا (با توجه به و )

تنظیم انتگرال مکرر:

ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال می‌گیریم:

محاسبه مساحت ناحیه (اگر ):

برای محاسبه مساحت ناحیه :

حال انتگرال را حل می‌کنیم:

پاسخ نهایی:

انتگرال دوگانه به صورت زیر نوشته می‌شود:

E #

برای محاسبه انتگرال دوگانه روی ناحیه که به وسیله معادله محصور شده است، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

تشریح ناحیه :

معادله یک منحنی بسته در ربع اول (, ) ایجاد می‌کند. برای توصیف این ناحیه:

• حدود : از تا (چون وقتی ، و بنابراین ).
• برای هر ثابت در ، از تا تغییر می‌کند (حل معادله برای ).

تنظیم انتگرال مکرر:

اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم:

حالت معکوس انتگرال‌گیری:

اگر بخواهیم ترتیب انتگرال‌گیری را عکس کنیم:

• حدود : از تا (چون وقتی ، و بنابراین ).
• برای هر ثابت در ، از تا تغییر می‌کند.

در این صورت:

محاسبه مساحت ناحیه (اگر ):

برای محاسبه مساحت ناحیه :

پاسخ نهایی: انتگرال دوگانه به صورت زیر نوشته می‌شود:

F #

برای نوشتن انتگرال دوگانه به صورت انتگرال مکرر روی ناحیه که با خطوط ، و محدود شده است، مراحل زیر را دنبال میکنیم:

۱. تعیین نقاط تقاطع مرزهای ناحیه:

برای درک بهتر ناحیه ، ابتدا نقاط تقاطع خطوط را پیدا میکنیم:

• تقاطع و :

  نقطه .

• تقاطع و :

  نقطه .

• تقاطع و :

  نقطه .

۲. رسم ناحیه :

ناحیه یک مثلث است که توسط نقاط ، و تشکیل شده است.

۳. انتگرالگیری به ترتیب :

اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم، حدود انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

• حدود : از تا .

• برای هر ثابت، حدود :

  • از (محور ) تا روی خط بالایی.
  • خط بالایی برای ، است.
  • خط بالایی برای ، است.

بنابراین، انتگرال مکرر به صورت زیر نوشته میشود:

۴. انتگرالگیری به ترتیب : اگر ابتدا نسبت به و سپس نسبت به انتگرال بگیریم، حدود انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

• حدود : از تا (چون بیشترین مقدار در نقطه است).
• برای هر ثابت، حدود :
  • از روی خط سمت چپ () تا روی خط سمت راست ().

بنابراین، انتگرال مکرر به صورت زیر نوشته میشود:

پاسخ نهایی:

G #

برای تبدیل انتگرال دوگانه به انتگرال مکرر در ناحیه محصور بین منحنی‌های و ، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

۱. پیدا کردن نقاط تقاطع منحنی‌ها

برای یافتن محدوده انتگرال‌گیری، ابتدا نقاط تقاطع دو منحنی را محاسبه می‌کنیم:

با جایگذاری از معادله اول در معادله دوم:

حل معادله:

پس نقاط تقاطع در و قرار دارند.

مقادیر متناظر:

• برای :
• برای :

بنابراین نقاط تقاطع و هستند.

۲. تعیین حدود انتگرال‌گیری

• اگر ابتدا نسبت به و سپس انتگرال بگیریم: برای هر در بازه ، از سمت چپ () تا سمت راست () تغییر می‌کند. بنابراین انتگرال مکرر به صورت زیر است:

• اگر ابتدا نسبت به و سپس انتگرال بگیریم:

  در این حالت، ناحیه را باید به دو قسمت تقسیم کنیم:

  ۱. برای در (قسمت پایین تقاطع)، از تا تغییر می‌کند. ۲. برای در ، از تا تغییر می‌کند.

  بنابراین انتگرال مکرر به صورت زیر خواهد بود:

پاسخ نهایی

تمرین ۳ #

A #

برای تغییر ترتیب انتگرالگیری در انتگرال دوگانه زیر:

ابتدا باید ناحیه انتگرالگیری را در صفحه مشخص کنیم.

۱. تعیین ناحیه انتگرالگیری:

• حدود بیرونی : از تا .
• برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.

بنابراین، ناحیه به صورت زیر است:

۲. رسم ناحیه:

برای درک بهتر، مرزهای ناحیه را رسم میکنیم:

• خط پایینی: (برای از تا ).
• خط بالایی: (برای از تا ).

در : و . در : و .

اما برای تغییر ترتیب انتگرالگیری، باید را بر حسب توصیف کنیم.

۳. تغییر ترتیب انتگرالگیری:

برای این کار، را از تا در نظر میگیریم و برای هر ، محدوده را پیدا میکنیم.

• برای :

  • از داریم: .
  • از داریم: .
  • بنابراین، از تا تغییر میکند.

• برای :

  • از داریم: .
  • اما حداکثر تا است (چون ).
  • بنابراین، از تا تغییر میکند.

اما باید دقت کنیم که در ، هر دو حالت (از ) و (از ) را داریم.

پس ناحیه را میتوان به دو بخش تقسیم کرد:

۴. نوشتن انتگرال با ترتیب جدید:

حالا میتوانیم انتگرال را با ترتیب بنویسیم:

پاسخ نهایی:

این شکل جدید انتگرال با ترتیب تغییر یافته است.

B #

برای تغییر ترتیب انتگرالگیری در انتگرال دوگانه زیر:

ابتدا باید ناحیه انتگرالگیری را در صفحه مشخص کنیم.

۱. تعیین ناحیه انتگرالگیری:

• حدود بیرونی : از تا .
• برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.

بنابراین، ناحیه به صورت زیر است:

۲. رسم ناحیه:

برای درک بهتر، مرزهای ناحیه را رسم میکنیم:

• منحنی پایینی: (برای از تا ).
• منحنی بالایی: (برای از تا ).

در : و . در : و .

اما برای تغییر ترتیب انتگرالگیری، باید را بر حسب توصیف کنیم.

۳. تغییر ترتیب انتگرالگیری:

برای این کار، را از تا در نظر میگیریم و برای هر ، محدوده را پیدا میکنیم.

• از داریم: .
• از داریم: .

برای :

• (چون برای ).

بنابراین، برای هر ثابت، از تا تغییر میکند.

۴. نوشتن انتگرال با ترتیب جدید:

حالا میتوانیم انتگرال را با ترتیب بنویسیم:

پاسخ نهایی:

این شکل جدید انتگرال با ترتیب تغییر یافته (dx , dy) است.

تمرین ۴ #

A #

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

• انتگرال داخلی: (متغیر از تا )
• انتگرال بیرونی: (متغیر از تا ).

ناحیه :

این ناحیه یک مثلث است که توسط خطوط ، و محدود شده است.

۲. تغییر ترتیب انتگرال‌گیری:

برای ساده‌سازی، ترتیب انتگرال‌گیری را از به تغییر می‌دهیم:

• حدود جدید:
  • از تا (عمودی).
  • برای هر ثابت، از تا (افقی).

ناحیه با ترتیب جدید:

۳. بازنویسی انتگرال:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به :

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به :

۶. نتیجه نهایی:

B #

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

• انتگرال داخلی: (متغیر از تا ).
• انتگرال بیرونی: (متغیر از تا ).

ناحیه :

این ناحیه یک مثلث است که توسط خطوط ، و محدود شده است.

۲. تغییر ترتیب انتگرال‌گیری:

برای ساده‌سازی، ترتیب انتگرال‌گیری را از به تغییر می‌دهیم:

• حدود جدید:
  • از تا (افقی).
  • برای هر ثابت، از تا (عمودی).

ناحیه با ترتیب جدید:

۳. بازنویسی انتگرال:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به :

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به :

• انتگرال اول: با جایگزینی ، :

  بنابراین:

• انتگرال دوم:

۶. ترکیب نتایج:

۷. نتیجه نهایی:

C #

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

• حدود فعلی:

  • متغیر بیرونی (y): از 0 تا
  • متغیر درونی (x): از تا

• ناحیه انتگرال‌گیری:

  این ناحیه بین خط و خط عمودی قرار دارد.

۲. ترسیم ناحیه برای تغییر ترتیب:

برای تغییر ترتیب انتگرال‌گیری، ناحیه را به صورت زیر توصیف می‌کنیم:

• x از 0 تا
• برای هر x ثابت، y از 0 تا

۳. بازنویسی انتگرال با ترتیب جدید:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به y:

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به x:

با استفاده از روش جایگزینی:

• وقتی
• وقتی

۶. نتیجه نهایی:

D #

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

• حدود فعلی:

  • متغیر بیرونی (x): از 0 تا 8
  • متغیر درونی (y): از تا 2

• ناحیه انتگرال‌گیری:

  این ناحیه بین منحنی و خط افقی قرار دارد.

۲. ترسیم ناحیه برای تغییر ترتیب:

برای تغییر ترتیب انتگرال‌گیری، ناحیه را به صورت زیر توصیف می‌کنیم:

• y از 0 تا 2 (چون وقتی و وقتی )
• برای هر y ثابت، x از 0 تا y³ (معکوس تابع )

۳. بازنویسی انتگرال با ترتیب جدید:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به x:

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به y:

با استفاده از روش جایگزینی:

• وقتی
• وقتی

۶. نتیجه نهایی:

تمرین ۵ #

حل انتگرال دوگانه با تغییر ترتیب انتگرال‌گیری:

مسئله:

۱. تحلیل ناحیه انتگرال‌گیری:

• حدود فعلی:

  • متغیر بیرونی (x): از 0 تا 1
  • متغیر درونی (y): از تا

• ناحیه انتگرال‌گیری:

  این ناحیه بین منحنی و خط افقی y = قرار دارد.

۲. ترسیم ناحیه برای تغییر ترتیب:

برای تغییر ترتیب انتگرال‌گیری، ناحیه را به صورت زیر توصیف می‌کنیم:

• y از 0 تا (چون وقتی ، و وقتی ، )
• برای هر y ثابت، x از 0 تا tan y (معکوس تابع )

۳. بازنویسی انتگرال با ترتیب جدید:

۴. محاسبه انتگرال داخلی نسبت به x:

۵. محاسبه انتگرال بیرونی نسبت به y:

حل این انتگرال با روش جایگزینی:

• وقتی
• وقتی

۶. نتیجه نهایی:

تمارین صفحه ۹۱ #

تمرین ۱ #

بردارهای داده‌شده:

A #

برای محاسبه ، مؤلفه‌های متناظر دو بردار را با هم جمع می‌کنیم:

جمع مؤلفه‌ها:

پاسخ نهایی:

B #

B)

تفریق مؤلفه‌به‌مؤلفه انجام می‌شود:

C #

C) (ضرب داخلی)

ضرب داخلی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

D #

D) (ضرب داخلی)

ضرب داخلی جابجایی است، پس:

E #

E) (ضرب خارجی)

ضرب خارجی با دترمینان ماتریس زیر محاسبه می‌شود:

F #

F) (ضرب خارجی)

ضرب خارجی پادجابجایی است، پس:

G #

G)

ابتدا را محاسبه می‌کنیم (قسمت A را ببینید):

حال را محاسبه می‌کنیم:

حال ضرب خارجی را انجام می‌دهیم:

H #

H) (ضرب خارجی یک بردار با خودش)

ضرب خارجی هر بردار با خودش همیشه صفر است، زیرا زاویه بین بردار و خودش است و . پس:

تمرین ۲ #

بردارهای داده‌شده:

A #

A)

جمع مؤلفه‌به‌مؤلفه:

B #

B)

تفریق مؤلفه‌به‌مؤلفه:

C #

C) (ضرب داخلی)

D #

D) (ضرب داخلی)

ضرب داخلی جابجایی است:

E #

E) (ضرب خارجی)

محاسبه با دترمینان:

F #

F) (ضرب خارجی)

ضرب خارجی پادجابجایی است:

G #

G)

محاسبه (قسمت A):

محاسبه :

ضرب خارجی:

H #

H)

ضرب خارجی هر بردار با خودش صفر است: