تمارین صفحات ۱۴۱ و ۱۴۲ بخش سوم #

تمرین ۸ #

برای نشان دادن اینکه برای تابع ، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. محاسبه‌ی مشتق‌های جزئی مرتبه دوم نسبت به و :

مشتق جزئی اول نسبت به :

مشتق جزئی دوم نسبت به :

مشتق جزئی اول نسبت به :

مشتق جزئی دوم نسبت به :

2. جمع مشتق‌های جزئی دوم:

3. مقایسه با تابع اصلی :

می‌بینیم که:

نتیجه:

تمرین ۹ #

برای محاسبه‌ی و از تابع که در آن و هستند، از قاعده‌ی زنجیره‌ای (chain rule) استفاده می‌کنیم.

1. محاسبه‌ی :

طبق قاعده‌ی زنجیره‌ای:

• محاسبه‌ی مشتقات جزئی:

• جایگذاری:

• جایگذاری و :

2. محاسبه‌ی :

طبق قاعده‌ی زنجیره‌ای:

• محاسبه‌ی مشتقات جزئی:

• جایگذاری:

• جایگذاری و :

نتیجه‌ی نهایی:

تمرین ۱۰ #

برای محاسبه‌ی و ، ابتدا تابع را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

که در آن:

گام ۱: ساده‌سازی تابع

تابع را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

بنابراین:

گام ۲: محاسبه‌ی

برای محاسبه‌ی ، از نسبت به مشتق می‌گیریم:

هر جزء را جداگانه مشتق می‌گیریم:

۱. مشتق جزء اول:

۲. مشتق جزء دوم:

بنابراین:

گام ۳: محاسبه‌ی

برای محاسبه‌ی ، از نسبت به مشتق می‌گیریم:

هر جزء را جداگانه مشتق می‌گیریم:

۱. مشتق جزء اول:

۲. مشتق جزء دوم:

بنابراین:

پاسخ نهایی:

تمرین ۱۲ #

برای نشان دادن اینکه برای تابع

ابتدا باید مشتقات جزئی ، و را محاسبه کنیم.

محاسبه مشتقات جزئی:

1. مشتق جزئی نسبت به ():

   • مشتق نسبت به : .
   • مشتق نسبت به : (چون تابعی از نیست).
   • مشتق نسبت به : .

   بنابراین:

2. مشتق جزئی نسبت به ():

   • مشتق ( \cos(x - y) ) نسبت به ( y ): ( \sin(x - y) ) (چون ( \frac{\partial}{\partial y} \cos(x - y) = \sin(x - y) )).
   • مشتق ( \tan(y - z) ) نسبت به ( y ): ( \sec^2(y - z) ).
   • مشتق ( e^{z - x} ) نسبت به ( y ): ( 0 ) (چون تابعی از ( y ) نیست).

   بنابراین:

3. مشتق جزئی نسبت به ():

   • مشتق نسبت به : (چون تابعی از نیست).
   • مشتق نسبت به : (چون ).
   • مشتق نسبت به : .

   بنابراین:

جمع مشتقات جزئی:

حالا مشتقات جزئی را با هم جمع می‌کنیم:

عبارت‌های مشابه را ساده می‌کنیم:

نتیجه:

بنابراین، نشان دادیم که:

تمرین ۱۳ #

برای یافتن مشتقات جزئی تابع نسبت به و ، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

۱. مشتق جزئی نسبت به ():

از قاعده ضرب برای مشتق‌گیری استفاده می‌کنیم:

قاعده ضرب می‌گوید:

در اینجا:

• →
• →

پس:

می‌توانیم را فاکتور بگیریم:

۲. مشتق جزئی نسبت به ():

حالا مشتق جزئی نسبت به را محاسبه می‌کنیم:

از آنجا که نسبت به ثابت است، داریم:

مشتق نسبت به برابر است با:

بنابراین:

نتیجه نهایی: