Jarvis @ JM.me

پاسخ سوالات ریاضی (مشتقات جزئی ۳)

May 15 · 100min | امیرمحمد

مسائل ریاضی و حل آنها

اخطار : توجه کنید

اگر در تلفن همراه دارید این صفحه را مشاهده میکنید لطفا برای دیدن پاسخ ها به صورت کامل و درست گوشی خود را افقی نگه دارید.

راهنمایی

.مابقی تمرین ها و پاسخ هاشون در کانال تلگرامی هستند 👈🏻 کانال تلگرام



تمارین صفحات ۱۴۱ و ۱۴۲ بخش سوم

تمرین ۸

برای نشان دادن اینکه برای تابع ، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

  1. محاسبه‌ی مشتق‌های جزئی مرتبه دوم نسبت به و :

مشتق جزئی اول نسبت به :

مشتق جزئی دوم نسبت به :

مشتق جزئی اول نسبت به :

مشتق جزئی دوم نسبت به :

  1. جمع مشتق‌های جزئی دوم:
  1. مقایسه با تابع اصلی :

می‌بینیم که:

نتیجه:

تمرین ۹

برای محاسبه‌ی و از تابع که در آن و هستند، از قاعده‌ی زنجیره‌ای (chain rule) استفاده می‌کنیم.

  1. محاسبه‌ی :

طبق قاعده‌ی زنجیره‌ای:

  • محاسبه‌ی مشتقات جزئی:

  • جایگذاری:

  • جایگذاری و :

  1. محاسبه‌ی :

طبق قاعده‌ی زنجیره‌ای:

  • محاسبه‌ی مشتقات جزئی:

  • جایگذاری:

  • جایگذاری و :

نتیجه‌ی نهایی:

تمرین ۱۰

برای محاسبه‌ی و ، ابتدا تابع را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

که در آن:

گام ۱: ساده‌سازی تابع

تابع را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

بنابراین:

گام ۲: محاسبه‌ی

برای محاسبه‌ی ، از نسبت به مشتق می‌گیریم:

هر جزء را جداگانه مشتق می‌گیریم:

۱. مشتق جزء اول:

۲. مشتق جزء دوم:

بنابراین:

گام ۳: محاسبه‌ی

برای محاسبه‌ی ، از نسبت به مشتق می‌گیریم:

هر جزء را جداگانه مشتق می‌گیریم:

۱. مشتق جزء اول:

۲. مشتق جزء دوم:

بنابراین:

پاسخ نهایی:

تمرین ۱۲

برای نشان دادن اینکه برای تابع

ابتدا باید مشتقات جزئی ، و را محاسبه کنیم.

محاسبه مشتقات جزئی:

  1. مشتق جزئی نسبت به ():

    • مشتق نسبت به : .
    • مشتق نسبت به : (چون تابعی از نیست).
    • مشتق نسبت به : .

    بنابراین:

  2. مشتق جزئی نسبت به ():

    • مشتق ( \cos(x - y) ) نسبت به ( y ): ( \sin(x - y) ) (چون ( \frac{\partial}{\partial y} \cos(x - y) = \sin(x - y) )).
    • مشتق ( \tan(y - z) ) نسبت به ( y ): ( \sec^2(y - z) ).
    • مشتق ( e^{z - x} ) نسبت به ( y ): ( 0 ) (چون تابعی از ( y ) نیست).

    بنابراین:

  3. مشتق جزئی نسبت به ():

    • مشتق نسبت به : (چون تابعی از نیست).
    • مشتق نسبت به : (چون ).
    • مشتق نسبت به : .

    بنابراین:

جمع مشتقات جزئی:

حالا مشتقات جزئی را با هم جمع می‌کنیم:

عبارت‌های مشابه را ساده می‌کنیم:

نتیجه:

بنابراین، نشان دادیم که:

تمرین ۱۳

برای یافتن مشتقات جزئی تابع نسبت به و ، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

۱. مشتق جزئی نسبت به ():

از قاعده ضرب برای مشتق‌گیری استفاده می‌کنیم:

قاعده ضرب می‌گوید:

در اینجا:

پس:

می‌توانیم را فاکتور بگیریم:

۲. مشتق جزئی نسبت به ():

حالا مشتق جزئی نسبت به را محاسبه می‌کنیم:

از آنجا که نسبت به ثابت است، داریم:

مشتق نسبت به برابر است با:

بنابراین:

نتیجه نهایی:

> کامنت بذار در بلو اسکای / توییتر
 
CC BY-NC-SA 4.0  2009-PRESENT © Nuxsco (AMS) This website rewrite several times from those years up to present