اخطار : توجه کنید
اگر در تلفن همراه دارید این صفحه را مشاهده میکنید لطفا برای دیدن پاسخ ها به صورت کامل و درست گوشی خود را افقی نگه دارید.
راهنمایی
.مابقی تمرین ها و پاسخ هاشون در کانال تلگرامی هستند 👈🏻 کانال تلگرام
تمارین صفحات ۱۴۱ و ۱۴۲ بخش سوم #
تمرین ۸ #
برای نشان دادن اینکه برای تابع ، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
- محاسبهی مشتقهای جزئی مرتبه دوم نسبت به و :
مشتق جزئی اول نسبت به :
مشتق جزئی دوم نسبت به :
مشتق جزئی اول نسبت به :
مشتق جزئی دوم نسبت به :
- جمع مشتقهای جزئی دوم:
- مقایسه با تابع اصلی :
میبینیم که:
نتیجه:
تمرین ۹ #
برای محاسبهی و از تابع که در آن و هستند، از قاعدهی زنجیرهای (chain rule) استفاده میکنیم.
- محاسبهی :
طبق قاعدهی زنجیرهای:
محاسبهی مشتقات جزئی:
جایگذاری:
جایگذاری و :
- محاسبهی :
طبق قاعدهی زنجیرهای:
محاسبهی مشتقات جزئی:
جایگذاری:
جایگذاری و :
نتیجهی نهایی:
تمرین ۱۰ #
برای محاسبهی و ، ابتدا تابع را به صورت زیر تعریف میکنیم:
که در آن:
گام ۱: سادهسازی تابع
تابع را میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد:
بنابراین:
گام ۲: محاسبهی
برای محاسبهی ، از نسبت به مشتق میگیریم:
هر جزء را جداگانه مشتق میگیریم:
۱. مشتق جزء اول:
۲. مشتق جزء دوم:
بنابراین:
گام ۳: محاسبهی
برای محاسبهی ، از نسبت به مشتق میگیریم:
هر جزء را جداگانه مشتق میگیریم:
۱. مشتق جزء اول:
۲. مشتق جزء دوم:
بنابراین:
پاسخ نهایی:
تمرین ۱۲ #
برای نشان دادن اینکه برای تابع
ابتدا باید مشتقات جزئی ، و را محاسبه کنیم.
محاسبه مشتقات جزئی:
مشتق جزئی نسبت به ():
- مشتق نسبت به : .
- مشتق نسبت به : (چون تابعی از نیست).
- مشتق نسبت به : .
بنابراین:
مشتق جزئی نسبت به ():
- مشتق ( \cos(x - y) ) نسبت به ( y ): ( \sin(x - y) ) (چون ( \frac{\partial}{\partial y} \cos(x - y) = \sin(x - y) )).
- مشتق ( \tan(y - z) ) نسبت به ( y ): ( \sec^2(y - z) ).
- مشتق ( e^{z - x} ) نسبت به ( y ): ( 0 ) (چون تابعی از ( y ) نیست).
بنابراین:
مشتق جزئی نسبت به ():
- مشتق نسبت به : (چون تابعی از نیست).
- مشتق نسبت به : (چون ).
- مشتق نسبت به : .
بنابراین:
جمع مشتقات جزئی:
حالا مشتقات جزئی را با هم جمع میکنیم:
عبارتهای مشابه را ساده میکنیم:
نتیجه:
بنابراین، نشان دادیم که:
تمرین ۱۳ #
برای یافتن مشتقات جزئی تابع نسبت به و ، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
۱. مشتق جزئی نسبت به ():
از قاعده ضرب برای مشتقگیری استفاده میکنیم:
قاعده ضرب میگوید:
در اینجا:
- →
- →
پس:
میتوانیم را فاکتور بگیریم:
۲. مشتق جزئی نسبت به ():
حالا مشتق جزئی نسبت به را محاسبه میکنیم:
از آنجا که نسبت به ثابت است، داریم:
مشتق نسبت به برابر است با:
بنابراین:
نتیجه نهایی: