تمارین صفحات ۱۵۴ و ۱۵۵ #

تمرین ۱ #

1 #

مراحل حل:

1. مشتقات جزئی اول:

2. پیدا کردن نقطه بحرانی:

   نقطه بحرانی: .

3. مشتقات جزئی دوم:

4. ماتریس هسیان ():

5. دترمینان ماتریس :

6. تعیین نوع نقطه بحرانی: چون ، نقطه یک نقطه زینی است.

نتیجه نهایی:

2 #

حل مسئله:

1. محاسبه مشتقات جزئی اول:

2. یافتن نقاط بحرانی (حل دستگاه معادلات):

معادله دوم را ساده می‌کنیم:

حالت اول:

با جایگذاری در معادله اول:

نقاط بحرانی: ( (\sqrt{5}, 0) ) و ( (-\sqrt{5}, 0) )

حالت دوم:

با جایگذاری در معادله اول:

نقاط بحرانی: و

3. محاسبه مشتقات جزئی دوم:

4. بررسی نوع نقاط بحرانی با ماتریس هسیان:

ماتریس هسیان:

دترمینان:

الف) نقطه :

ب) نقطه :

ج) نقطه :

د) نقطه :

نتیجه‌گیری:

• : حداقل محلی
• : حداکثر محلی
• و : نقاط زینی

3 #

حل مسئله:

1. محاسبه مشتقات جزئی اول:

2. یافتن نقاط بحرانی (حل دستگاه معادلات):

حل معادله اول:

حل معادله دوم:

نقاط بحرانی:

3. محاسبه مشتقات جزئی دوم:

4. بررسی نوع نقاط بحرانی با ماتریس هسیان:

ماتریس هسیان:

دترمینان ماتریس هسیان:

الف) نقطه :

ب) نقطه :

نتیجه‌گیری:

• : حداقل محلی
• : نقطه زینی

4 #

حل مسئله:

1. محاسبه مشتقات جزئی اول:

2. یافتن نقاط بحرانی (حل دستگاه معادلات):

حل معادلات:

نقطه بحرانی:

3. محاسبه مشتقات جزئی دوم:

4. بررسی نوع نقطه بحرانی با ماتریس هسیان:

ماتریس هسیان:

دترمینان ماتریس هسیان:

از آنجا که:

نتیجه‌گیری:

• : حداقل محلی مطلق (چون تابع درجه دوم محدب است)

5 #

برای یافتن نقاط بحرانی تابع و تعیین نوع آنها، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

۱. محاسبه مشتقات جزئی اول:

ابتدا مشتقات جزئی اول تابع را نسبت به و محاسبه می‌کنیم:

۲. یافتن نقاط بحرانی:

نقاط بحرانی جایی هستند که مشتقات جزئی اول برابر صفر باشند:

با جایگزینی معادله (۱) در معادله (۲):

پس:

• اگر :

  نقطه بحرانی:

• اگر :

  نقطه بحرانی:

۳. محاسبه مشتقات جزئی دوم:

برای تعیین نوع نقاط بحرانی، مشتقات جزئی دوم را محاسبه می‌کنیم:

مقدار دترمینان هسیان در هر نقطه بحرانی:

۴. بررسی نقاط بحرانی:

الف) نقطه :

از آنجا که ، نقطه یک سینگالار (زینی) است.

ب) نقطه :

و همچنین:

نتیجه‌گیری:

• نقطه : سینگالار (زینی)
• نقطه : مینیمم محلی

7 #

برای یافتن نقاط بحرانی تابع و تعیین نوع آنها، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

۱. محاسبه مشتقات جزئی اول:

مشتقات جزئی اول تابع را نسبت به و محاسبه می‌کنیم:

۲. یافتن نقاط بحرانی:

نقاط بحرانی جایی هستند که مشتقات جزئی اول برابر صفر باشند:

حل دستگاه معادلات خطی:

از معادله (۱):

جایگزینی در معادله (۲):

حال را محاسبه می‌کنیم:

پس نقطه بحرانی تنها است.

۳. محاسبه مشتقات جزئی دوم:

برای تعیین نوع نقطه بحرانی، مشتقات جزئی دوم را محاسبه می‌کنیم:

مقدار دترمینان هسیان در نقطه بحرانی:

نتیجه‌گیری:

• نقطه بحرانی: ( (-3, 3) )
• نوع نقطه: مینیمم محلی

8 #

1. مشتقات جزئی اول:

2. نقاط بحرانی (حل دستگاه):

نقطه بحرانی:

3. مشتقات جزئی دوم:

4. تعیین نوع نقطه بحرانی:

نتیجه: → سینگولار (زینی)

9 #

1. محاسبه مشتقات جزئی اول:

2. یافتن نقاط بحرانی:

حل معادلات مشتقات جزئی اول برابر صفر:

نقطه بحرانی:

3. محاسبه مشتقات جزئی دوم:

4. محاسبه دترمینان هسیان در نقطه بحرانی:

5. بررسی علامت مشتق دوم نسبت به x:

نتیجه:

از آنجا که و ، نقطه یک مینیمم محلی است.

10 #

حل فشرده:

1. مشتقات جزئی اول:

2. نقاط بحرانی:

3. مشتقات جزئی دوم:

4. محاسبه هسیان در (0,0):

5. نتیجه:

11 #

حل مسئله:

1. مشتقات جزئی اول:

2. نقاط بحرانی:

   نقطه بحرانی: ((0, 0))

3. مشتقات جزئی دوم:

4. دترمینان هسیان:

5. تحلیل نقطه بحرانی:

   • نتیجه: نقطه یک سینگولار (زینی) است.

12 #

حل مسئله:

1. مشتقات جزئی اول:

2. نقاط بحرانی:

   نقطه بحرانی:

3. مشتقات جزئی دوم:

4. دترمینان هسیان:

5. تحلیل نقطه بحرانی:

   • نتیجه: نقطه یک مینیمم مطلق است.

13 #

حل مسئله:

1. مشتقات جزئی اول:

2. نقاط بحرانی:

3. مشتقات جزئی دوم:

4. دترمینان هسیان:

5. تحلیل نقطه بحرانی:

   • نتیجه: نقطه یک سینگولار (زینی) است.